Bonjour à tous, je vais vous parler aujourd'hui de probabilité, une partie importante dans Magic, que ce soit dans le deckbuilding ou en partie.

Commençons par le commencement :

I – Définition

La probabilité d'un événement est un nombre réel compris entre 0 et 1. Plus ce nombre est grand, plus le risque, ou la chance, que l'événement se produise est grand. Il sera possible de mettre ce résultat en pourcentage de chance ou risque.

Cette notion, même si elle n'est pas forcement connu, elle est pourtant omniprésente. La première chose à savoir: le deck comprenant 60 cartes (99 en EDH / 40 en limité) à chaque fois qu'il est mélangé aura une "combinaison" de cartes, l'ordre sera toujours différents. En effet le deck (nous prendrons le cas de deck à 60 cartes pour le reste du sujet) aura 60! possibilités de combinaisons différentes. Pour celles et ceux qui ne seraient pas habitués avec le ! (factoriel) cela représente 60x59x58x57x56x55x54x…x3x2x1.

Cela équivaut (pour un deck à 60 cartes toutes différentes pour plus de simplicité d'explications au départ) à 8.3209871e+81 (approximativement 8 avec 81 zéro derrière, oui rien que ca, en comparaison c'est environ 10 fois plus que l'estimation du nombre d'atome dans l'univers… rien que ca).

Autant dire que des cartes toutes différentes c'est jouer uniquement avec le hazard. Heureusement l'avantage dans Magic, nous avons les terrains de bases et la possibilité de mettre une carte en 4 exemplaires.

II – La probabilité dans Magic

Commençons par les terrains. Lors de la construction d'un deck on cherche toujours à savoir quel nombre de terrains mettre. Parfois on le fait par défaut, parfois par expérience, par analyse de la curve, mais il est également possible de le faire grâce aux probabilités. Une main de départ se compose de 7 cartes, cartes qui peuvent donc être des terrains ou des sorts.

Il est possible de savoir la probabilité de chance de piocher des terrains. En prenant un deck avec L terrains, la premiere carte qui sera piochée vous aurez L chance sur 60 cartes de la piocher. Très logiquement on sait que plus L est grand plus on a de chance d'en récupérer 1.

Afin de comprendre les probabilités d'avoir X lands en main de départ, nous allons déjà partir sur avoir au moins un 1 (cette probabilité est donc l'ensemble des probabilités d'avoir 1,2,3,4,5,6 et 7 lands en main). Il faut savoir également que la somme de toutes les probabilités d'un événement sont toujours égale à 1. Donc la probabilité d'avoir au moins 1 terrain = 1 – la probabilité de n'avoir aucun terrain (que l'on nommera [P(L0)] ).

[P(L0)] peut être calculer d'une première façon simple, si la première carte que l'on veut ne soit pas un terrain cela sera (60-L)/60 si on veut que la seconde ne le soit pas également il faut (60-L)/60x(59-L)/59

et ainsi de suite car les probabilités qui se combinent (1ere condition + une deuxième condition+…) on multiplie les probabilités

Ainsi on obtient

[P(L0)]=[(60-L)/60]x[(59-L)/59]x[(58-L)/58]x[(57-L)/57]x[(56-L)/56]x[(55-L)/55]x[(54-L)/54]

Avec toujours L étant le nombre de terrain joué

La probabilité d'avoir au moins 1 terrain (ou une carte carte en particulier)

P=1-[(60-L)/60]x[(59-L)/59]x[(58-L)/58]x[(57-L)/57]x[(56-L)/56]x[(55-L)/55]x[(54-L)/54]

On a donc par exemple, pour 20 terrains 95,1726499359% de chances d'avoir au moins 1 terrain dans une pioche de 7 cartes.

Pour une carte en particulier en 4 exemplaires : 39,9499625745% et si cette carte n'est qu'en 1 seul exemplaire : 11,67%

Quand on vous dit de mettre des cartes importantes en 4 exemplaires, ce n'est pas pour rien.

L'avantage de cette formule c'est que cela permettra de calculer pour de nombreux cas (lands donc, piece de combo avec tuteur)

On obtient le même résultat en prenant la probabilité combinatoire. Avec le combinaison de X elements parmis L.

Avec C(7;60) on a le nombre de combinaisons de main avec 7 cartes parmi les 60 du decks (cela correspond à 60!/7!*(60-7)! = 386206920 possibilites sans compter les cartes similaires.

Probabilité d'avoir L lands en main de départ parmi les X présents dans le deck

C(L;X)xC(7-L;60-X)/C(7;60)

Toujours dans notre cas de 20 terrains et si on souhaite la probabilité d'avoir 3 terrains en main de départ.

[20!/(3!x17!)x40!/(4!x36!)]/ 60!/(7!x53)!

Ca nous donne donc

1140×91390/386206920 = 0.26976368005

Avec 20 lands dans le deck il est donc possible d'avoir 26.98% de chance d'avoir 3 lands en main de départ.

Si vous souhaitez avec des résultats suivant différents cas, il est préférable de passer par des feuilles de calcules excel.

J'espère que ces calculs ne vous auront pas rebuter

Y'a juste un facteur qu'aucune formule mathématique sur les proba ne peut prendre en compte : la chance…

Barbarus : quand on est poissard, faut aussi l'inclure dans la construction de deck… Et c'est pas une blague…

Le truc c'est qu'on a tendance à voir dans nos malchances un pattern alors que comme le dit Kaworu, sur une infinité de main, les statistiques font la loi.

Ca me rappelle un deck fun que je suis en train de tester avec 10 plaines, 10 marais, 4 bicolores. Et j'ai beau avoir l'impression de bien mélanger, le nombre de parties où je n'ai tiré que les plaines ou les bicolores, avant de mourir (forcément si je peux pas poser mes sorts noirs), sont hallucinantes. A croire que le deck m'en voulait. Pourtant, je suis à peu près sûr que si je note vraiment sur un papier toutes mes sorties, les poissardes doivent être de l'ordre du marginal. Mais c'est comme ça, on est toujours plus marqués par les sorties inhabituelles.

Très bon sujet que celui-ci.

Pour avoir fait beaucoup de math en prépa cela me rappelle bien des choses tout ca

J'avais déja étudier un peu le truc pour magic (également pour le poker…) ou on minimise les mathématiques par rapport à la chance.

Combien de gens j'ai entendu dire que le poker n'est qu'un jeu de chance.. un peu moins pour magic mais c'est aussi le cas.

Beaucoup font référence à la chance/malchance pour expliquer leurs parties alors que mathématiquement ils sont juste dans le mauvais côté des pourcentages (dont quelques fois ils ignorent le % important)

Jouer à pile ou face c'est 50% de chance de gagner. Mais c'est pas parce que tu fais 5 fois pile d'affilé que c'est impossible c'est juste que tu fais partie des 3 % des cas…

On pourrait parler de malchance si il y avait 0.01% de chance d'arriver mais quand j'entends dire je fais que des mana death ou des mana full ou des colorless et que tu dis combien tu as mis de terrains pour quel curve de mana ca se comprends de suite que tour 3/4 tu n'as plus de terrains.

Kaworu ce qui serait pas mal c'est de mettre un tableau sur la chance de pouvoir tavoir X land en Y tour pour Z land dans un deck de 60 cartes

Je vais me faire le tableau excel et je posterai tout cela. Content de voir que la partie Math de Magic intéressé du monde. Perso j'aime beaucoup les maths

Ca serait super d'épingler ce tableau à venir comme "tuto" deckbuilding sur le fofo. Chacun connaîtrait un peu son nombre idéal de terrains à jouer.

Pour ton goût pour les maths ça s'est vu Kawo !^^

Citation de kahuna70 Le [20/01/2016] à 12:28

Augmenter la probabilité de tirer une carte en la mettant en plusieurs exemplaires dans votre deck ne vous garantira jamais que vous la tirerez plus souvent car la chance, le hasard ou la poisse feront le reste.

Statistiquement, si tu augmentes ta probabilité de tirer une carte, tu diminues la chance de ne pas l'avoir. Sinon il n'y aurait strictement aucun intérêt de mettre une carte en 4x si ça n'augmentais pas les chances de tomber dessus.

Citation de rotoclap Le [20/01/2016] à 13:08

Statistiquement, si tu augmentes ta probabilité de tirer une carte, tu diminues la chance de ne pas l'avoir. Sinon il n'y aurait strictement aucun intérêt de mettre une carte en 4x si ça n'augmentais pas les chances de tomber dessus.

Exact. Mais tu auras toujours autant de chances de ne jamais la tirer que de la tirer. En effet, quelles que soient les probabilités de tirage, chaque tirage est indépendant des autres. Il est donc tout à fait possible d'effectuer 1, 10, 100, 1000 tirages d'affilées et encore plus sans que la carte désirée n'apparaisse dans ta main.

A chaque tirage, tous les cas de figure (toutes les probabilités) sont possibles et un seul se réalise… au hasard.

Tous les possibilités n'ont pas les même chance de se passer pour un événement donné. Sinon pourquoi mettre 27 lands dans un deck plutôt que 20. Tu pourras y mettre plus de cartes fortes.

La "chance" n'existe pas. Tout n'est que probabilité d'événements qui sont plus ou moins important. Je prendrais des cas par la suite pour expliquer cela avec des exemples concrets (deck liste à l'appui) et je peux même faire des tirages via cockatrice ou l'outils de deckbuilding. C'est la limite de compréhension de l'infini qui peut semblait difficile la compréhension de la notion des probabilités (et limite vers l'infini de ces événements )

Citation de kahuna70 Le [20/01/2016] à 13:56

1) Exact. Mais tu auras toujours autant de chances de ne jamais la tirer que de la tirer.

2) En effet, quelles que soient les probabilités de tirage, chaque tirage est indépendant des autres.

3) Il est donc tout à fait possible d'effectuer 1, 10, 100, 1000 tirages d'affilées et encore plus sans que la carte désirée n'apparaisse dans ta main.

1) Non. Si tu mets 4 cartes au lieu d'une, tu as 4x plus de chances de la tirer.

2) Pour le tirage d'une carte on est d'accord. Si tu as une carte, tu as 1/60 de l'avoir, si tu en as 4, 1/15. Pour le tirage d'une main de départ où tu veux obtenir la fameuse carte désirée, là les tirages sont liées. J'adore les maths mais ça fait un moment que mes fesses se sont éloignées des bancs de l'université. Mais dans le cas d'une main de départ de 7 et que tu n'as qu'un seul exemplaire de la carte désirée dans le deck, tes chances de l'avoir sont de 1/60+1/59+1/58+1/57+1/56+1/55+1/54 = 12,3%. Si t'en as 4 exemplaires, là c'est plus la même, ça donne 4/60+4/59+4/58+4/57+4/56+4/55+4/54 = 49,2%

C'est là où avoir 4 exemplaires montrent sa vraie force, parce que sur un tirage unique c'est sûr qu'avoir 1/60 (1,7%) ou 1/15 (6,7%), ça fait pas rêver. Mais sur une main de départ, passer de 12,3% à 49,2% c'est loin d'être négligeable.

3) Oui, statistiquement, c'est possible que sur 10 000 tirages d'affilée, même une probabilité de 99% soit en échec. Mais sur une infinité de tirage, le hasard se rattrape toujours. C'est pour même avec une pièce équilibré, tu peux la lancer 20 en l'air et avoir le coté face à chaque fois. Mais si tu la lances à l'infini, non.